Balistique extérieure / Portée

Trajectoire du projectile, sans prendre en compte la résistance de l’air (Figure 9), avec les paramètres suivants :

Figure 9 : Trajectoire d'un projectile

g : l'accélération gravitationnelle 

(valeur approchée de 9.81 m/s² à la surface de la Terre);

θ : l'angle de projection par rapport à l'horizontale ;

v : la vitesse de déplacement initiale (vélocité) du projectile ;

y₀ : la hauteur initiale du projectile par rapport à l'horizontale, niveau zéro en hauteur ; 

d : la distance horizontale totale parcourue par le projectile, ou portée

Cas général :

Les coordonnées de l’accélération (a) sont :

a_x = 0

a_y = -g (où g est la gravité)

Vitesse à tout moment (t) du trajet :

v_x = vcosθ

v_y = vsinθ - gt₀

De même, nous pouvons en déduire la position de la balle en fonction du temps (équations paramétriques) :

x(t) = vcosθt

y(t) = -1/2gt² + vsinθt + y₀

Si l'on examine un scénario lorsque la position verticale initiale y₀ du projectile est 0 (l'arme est au même niveau que la cible, Figure 10), la position horizontale du projectile a un moment t est:

x(t) = vtcosθ

la position verticale a un moment est :

y(t) = vtsinθ - 1/2 gt²

Figure 10 : Trajectoire d'un projectile avec y0 = 0

Nous nous intéressons au temps que prendra le projectile pour revenir à sa hauteur d'origine.

0 = vtsinθ - 1/2 gt²

Par factorisation:

t = 0

Ou:

t = 2vsinθ / g

Le premier t représente le moment avant la projection, nous n'utiliserons donc que le 2eme résultat que nous insérerons dans la fonction x(t) :

x = 2v²cosθsinθ / g

Donc:

d = v²sin2θ  g

Si y₀ est non nul (l'arme et la cible ne sont pas au même niveau, Figure 9), les équations de mouvement deviennent:

x(t) = vcosθt

Et:

y(t) = y₀ + vtsinθ - 1/2 gt²

Nous nous intéressons encore une fois à y(t) = 0

0 = y₀ + vtsinθ - 1/2 gt²

Même raisonnement :

t = vsinθ / g ± [ (vsinθ)² + 2gy₀]^1/2 / g

Dans l'équation ((vsinθ)² + 2gy₀)^1/2 / g > vsinθ / g et t > 0, donc :

t = vsinθ / g + ((vsinθ)² + 2gy₀)^1/2 / g

La portée est donc :

d = vcosθ / g [vsinθ + [(vsinθ)² + 2gy₀]^1/2]